சர்வே கணிதம்

சர்வேவுக்கு என்று அடிப்படையில் நல்ல கணித தேர்ச்சியும், கணிதத்தின் எளிமையான அடிப்படை உண்மைகளும் நமக்கு கட்டாயம் தெரிய வேண்டும் பெத்தவளே!
அப்படி தெரியும்போது தான் களத்தில் நிலங்களை அளக்கும்போதும் அளந்த நிலங்களை அப்படியே வரைபடங்களாக உருவாக்கும்போதும், தவறில்லாமல் துல்லியமானதாக உருவாக்க முடியும்மா!!
கணிதத்தில் பல்வேறு வகையான உண்மைகள் தான் இருக்கின்றன அந்த உண்மையின் அடிப்படையில் தான் நம்மால் கணக்கீடுகள் செய்ய முடியும், ஆக அந்த சர்வே கணிதத்தில் உள்ள உண்மைகளை நான் வரிசை கிரமமாக பட்டியலிடுகிறேன் பெத்தவளே!!
முதலில் கோடுகளைப் பற்றிய உண்மைகளை தெரிந்து கொள்வோம்

1. ஒரு நேர்க்கோடு என்பது இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே தூரமாகும்.
2. நேர்க்கோடுகள் படுக்கைக்கோடு செங்குத்துக்கோடு என்று மூன்று வகையாக உள்ளது.
3. படுக்கைகோடு தரைமட்டமாகும், சாய்ப்புக்கோடு சாய்ந்த நிலையிலும் செங்குத்துக்கோடு நேராக மேல்நோக்கிய நிலையிலும் இருக்கும். அடுத்ததாக கோணங்களைப் பற்றிய உண்மைகள் தெரிந்து கொள்வோம் பெத்தவளே!
4.  கோணங்கள் குருங்கோணம், விரிகோணம், நேர்க்கோணம் என மூன்று வகைகளாக இருக்கிறதும்மா!
5. நேர்க்கோணம் என்பது 90 டிகிரி செங்குத்துக்கோடு ஆகும்
6. குருங்கோணம் என்பது நேர்க்கோணத்தைவிட அதாவது 90 டிகிரியை குறைவானதாக இருக்கும்.
7. விரிகோணம் என்பது 90 நேர்க்கோணத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.அடுத்து வட்டத்தைப் பற்றிய உண்மைகளை தெரிந்து கொள்வோம் பெத்தவளே!
8. ஒரு புள்ளியை மையமாக வைத்து அதனைச்சுற்றி 360 க்கு ஒரு கோட்டை வரைந்தால் அது வட்டம் ஆகும்
9. வட்டத்தின் மையப்புள்ளியிலிருந்து வட்டச்சுற்றுக்கே எல்லைவரை உள்ள தூரத்தை ஆரம் என்று கூறுவோம்.
10. வட்டச்சுற்றின் ஒரு முனையிலிருந்து இன்னொரு முனை மையப்புள்ளி வழியாக இருக்கும் தூரத்தை விட்டம் என்று கூறுவோம்.
11. ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் என்பது அந்த வட்ட ஆரத்தைவிட இருமடங்கு ஆகும்.
12. ஒரு வட்டத்தின் மையப்புள்ளி வழியே செல்லும் இரண்டு விட்டங்கள் வட்டத்தை 4 சமபாகமாக பிரிக்கும்.
13. அந்த இரு விட்டங்களும் ஒன்றையொன்று 90 நேர்க்கோணத்தில் வெட்டிக்கொள்கின்றன.
14. ஒரு கால்வட்டத்தை எடுத்துக் கொண்டால் அதில் இரண்டு கோடுகளும் 90 கோணத்தில் இருக்கும்.

பெற்றவளே இதுவரை நாம் கோடுகள், கோணங்கள் மற்றும் வட்டங்கள் பற்றிய அடிப்படை உண்மைகளை பார்த்தோம், என்னடா! 5 ஆம் வகுப்புச் சென்றுவிட்டோம் என்று நினைத்து விடாதே இந்த அடிப்படை உண்மைகளை வைத்துத்தான் நம்மால் நல்ல வரைபடங்களை, சர்வே புலப்படங்களை உருவாக்க முடியும்.
முக்கோணங்களைப்பற்றிய உண்மைகள்:
பெற்றவளே!
ஒட்டுமொத்த உலகத்தின் பரப்பளைவையே முக்கோணவியலின் அடிப்படையில்தான் நாம் இதுவரை அளந்திருக்கிறோம். டிரிக்னாமிட்ரி முக்கோணவியல் பாடம் என்று 10 ஆம் வகுப்புகளில் நம்முடைய ஆசிரியர் போதிக்கும் போது அது மிகவும் கசப்பானதாக, வெறுப்புத்தட்டுவதாக இருப்பதை நாம் உணர்ந்திருப்போம்.
நில சர்வே என்று வரும்போது அல்லது வடிவமற்ற ஒரு பொருளின் பரப்பளவை கண்டுபிடிக்கும்போது அல்லது வடிவமற்ற ஒருபொருளின் ஏதாவது பக்கத்தின் நீளத்தை நேரடியாக அளந்து கண்டுபிடிக்க முடியாதபோது முக்கோணவியலில் உள்ள உண்மைகளை வைத்துத்தான் நம்மால் கணக்கிடமுடிகிறது.

நிலத்தின் பரப்பளவு, நீளம், அகலம் ஆகியவற்றை கண்டுபிடிக்க பிரச்சனையாக இருக்கும்போது முக்கோணவியலில் இருக்கின்ற உண்மைகள் மூலம் தான் நமக்குத் தீர்வுகள் கிடைக்கின்றன.
நம்முடைய உடலில் உள்ள அனைத்து பாகங்களின் தூரங்களை முக்கோணவியலின் அடிப்படையிலேயே நம்மால் அளந்துவிட முடியும். உதாரணமாக உன் இரு புருவங்களுக்கு இடையில் இருக்கின்ற நாம் பொட்டு வைக்கின்ற இடத்தை மையப் புள்ளியாக எடுத்தால் அந்த மையப்புள்ளியில் இருந்து உன் இரண்டு கண்களையும் படர்க்கை கோடாக வரையலாம, அந்த மையப்புள்ளியில் இருந்து கீழ்நோக்கி நாசியையும் மேல்நோக்கி நெற்றி வகிடையும் ஒரு முகத்தை வரையும் போது இந்த இரண்டு கோடுகளைத்தான் வரைகிறார்கள். கூர்ந்து கவனித்தால் அது ஒரு சிலுவைப்போல இருக்கும்.
இயேசுபிரான்கூட ஒவ்வொருவரும் தன் சிலுவையைத் தானே சுமக்க வேண்டும் என்று கூறியுள்ளார். எனக்குத் புரிந்தவரை ஒவ்வொருவர் முகத்தில் உள்ள இந்த இரண்டு கோடுகளைத்தான் சிலுவையாக பார்க்கின்றேன்.
அன்பு பெற்றவளே!
உன்னை நான் எப்போது பார்த்தாலும் அந்த இரு கண்களுக்கு இடையில் உள்ள நெற்றியை சிலுவைக்கோடாக அதாவது செங்குத்துக்கோடாக நான் பார்க்கிறேன். அப்பொழுதெல்லாம் முக்கோணவியலின் உண்மைகளின் ஒளிக்கீற்றாக என் மனதில் வந்து போகும். தெரியுமா?
சரி !நாம் இனி முக்கோணத்தைப் பற்றி பர்ப்போம்.
15) முக்கோணம் என்பது 3 கோடுகளை உள்ளடக்கியதாகும்.
16) மூன்று கோடுகளும் ஒன்றை ஒன்று ஒரு புள்ளியில் சந்தித்துக் கொள்கின்றன.
17) ஒரு முக்கோணத்தில் 3 கோணங்கள் கண்டிப்பாக இருக்கும்.
18) ஆக முக்கோணம் என்பது மூன்று நேர்க்கோடுகளாலும் மூன்று கோணங்களாலும் அடைபடுகின்ற உருவம் ஆகும்.
19)ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் வெவ்வேறு அளவுடையதாக இருந்தால் அது அசமபக்க முக்கோணம் எனப்படும்.
20)ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால் அதற்கு இருசமபக்க முக்கோணம் என்று பெயர்.
21)ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால் அதற்கு சமபக்க முக்கோணம் என்று பெயர்.
22)மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருக்கின்ற முக்கோணத்தில் கண்டிப்பாக அதனுள் இருக்கும் 3 கோணங்களும் சமமாக தலா 60 டிகிரி இருக்கும்.
23)ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத் தொகை கண்டிப்பாக 180 டிகிரி கோண அளவாகும்.
24)முக்கோணத்தின் வகைகள் ஆங்கிலத்தில் Scalene Triangle(அசம்பக்க முக்கோணம்)Isosceles Triangle(இருசம்பக்க முக்கோணம்)Equilateral Triangle(சம பக்க முக்கோணம்) என்று சொல்வார்கள்.


25)எந்தவொரு முக்கோணத்தையும் அதனுடைய கர்ணத்தை மையமாக வைத்து முக்கோணத்தின் எதிர்திசையில் ஒரு எதிர்கோணம் வரைந்தால் அது ஒரு சதுரமாகவோ அல்லது நீளசதுரமாகவோ அமையும்.
26)ஒரு சதுரத்தின் அல்லது நீளத்தின் பரப்பை கண்டுபிடிக்க L*B என்ற சூத்திரம் பயன்படுகிறது. அதன் அடிப்படையிலே ஒரு சதுரத்தின் கர்ணம் வழியாக அதை நாம் பிரித்தால் அந்த பாதிதான் செங்கோண முக்கோணம் ஆகும். மேற்கண்டபடி அதற்கு ½ BH சூத்திரம் பயன்படுகிறது.
செங்கோண முக்கோணத்தை முக்கோணத்நின் ராணி என்று சொல்லலாம். பலசிக்கலான கணக்கு பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதற்கு முக்கோணத்தின் உண்மைகள் தான் பெரிதும் பயன்படுகின்றன.
இந்த முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம் எனப்படும். இனி இந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் உண்மைகளைப் பார்ப்போம் பெத்தவளே!

27)செங்கோண முக்கோணம் என்பது ஒரு முக்கோணம் தான் அதன் ஏதாவது ஒரு பக்கம் 90 டிகிரி நேர்க்கோணத்தில் இருக்கும்.
28)இந்த முக்கோணத்தில் ஒரே ஒரு பக்கம் தான் கண்டிப்பாக 90 டிகிரி நேர்க்கோணமாக இருக்கும்.
29)இந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் பெரிய பக்கம் கர்ணம் என்று சொல்வார்கள்
30)ஒரு முக்கோணத்தில் 90 டிகிரி நேர்க்கோணமாக இருக்கும்
31)நேர்கோணத்திற்கு எதிர்க்கோணம் டீட்டா (Q) என்று சொல்வார்கள்.
(32)ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் டீட்டாவுக்கு (Q) எதிரில் இருக்கும் பக்கத்தை செங்கோண முக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் என்றும் இந்த டீட்டாவுக்கு (Q) பக்கத்தில் இருக்கும் பக்கத்தை அடுத்த பக்கம் என்றும் சொல்வார்கள்.

33)அடுத்ததாக முக்கோணத்தின் கோணங்களை sin Q), cos(Q), tan(Q) என்று வகைப்படுத்தி அதனை எப்படி கண்டுபிடிக்கலாம் என்று சில சூத்திரங்கள் இருக்கிறது.
34)sin (Q)    =     எதிர்பக்கம்
கர்ணம்
35)cos(Q)     =     அடுத்தபக்கம்
கர்ணம்
36))tan(Q)      =     எதிர்பக்கம்
அடுத்தபக்கம்
37)Sin,cos,tan கோணங்களின் தலைகீழ்தான்  Cosec, sec, cot டீட்டாக்கள் (Q) ஆகும், அவற்றின் சூத்திரம்
38)Cosec (Q)     =      1
Sin(Q)
39)Sec (Q)     =      1
cos(Q)
40)cot (Q)     =      1
tan(Q)
மேற்சொன்ன செங்கோண முக்கோணத்தின் நீளங்களையும் கோணங்களையும் வைத்து பல பரப்பளவுகளை எளிதில் கணக்கிடலாம், சில இடங்களில் நமக்கு அதன் நீளங்களை அளக்க முடியாமல் இருக்கும்போது அதன் கோணங்கள் கிடைத்தால் நீளங்களை கண்டுபிடிக்க முடியும் அல்லது நீளங்கள் கிடைத்து கோணங்கள் கிடைக்காதபோது நீளங்களை வைத்து கோணங்களை கணக்கிட முடியும் பெத்தவளே!
41)மேலும் செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின் மேல் வரைப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு நேர்க்கோணத்தை தாங்கி நிற்கும். மற்ற இரு பக்கங்களின் மேல் வரையப்பட்ட சதுரங்களின் பரப்பு அதாவது அடித்தளம் மற்றும் செங்குத்துக்கோடு இவற்றின் மேல் வரையப்பட்ட சதுரங்களின் பரப்பு கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.
அதாவது AC^=AB^+BC^ ஆகும்
42)அடித்தளத்தின் மேல் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு கர்ணத்தின் மேல் வரைந்த சதுரத்தின் பரப்பிற்கும் செங்குத்துக் கோட்டின் மேல் வரைந்த சதுரத்தின் பரப்பிற்கும் உள்ள வித்தியாசத்திற்கு சமம்
அதாவது BC2=AC2-AB2
43)அதேபோல் செங்குத்துக்கோட்டின் மேல் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பிற்கும், கர்ணத்தின் மேல் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பிற்கும், அடித்தளத்தின்மேல் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பிற்கும் உள்ள வித்தியாசத்திரற்கு சமம் ஆகும்.
அதாவது AB2=AC2-BC2
இந்த உண்மைக்குதான் நாம் வகுப்பில் சூத்திரங்களை உண்மை புரியாமல் மனப்பாடம் செய்து கொண்டு இருப்போம் என்பது நினைவுக்குவருகிறதா? பெத்தவளே!!
அடுத்து மிக முக்கியமான முக்கோணம் ஒன்று இருக்கிறது பெத்தவளே அது அசம்பக்க முக்கோணம் ஆகும்.நாம் பூமியில்  நிலத்தை அளக்கும்போது பல இடங்கள் ஒழுங்கான வடிவமில்லாமல் இருக்கிறது என்பதை அறிவோம் .அப்படிபட்ட இடங்களை நாம் இரண்டு அல்லது மூன்று அசம பக்க முக்கோணங்களாக கண்டிப்பாக பிரிக்க முடியும்.
44)அப்படி பிரிக்கபட்ட அசம பக்க முக்கோணத்திற்கு பரப்பளவை எளிதாக கண்டுபிடிக்க route of Sx S_A x S-B xS-C என்ற சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி விடைகாணலாம
45)S என்பது அசம முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் கூட்டுதொகை ஆகும்,A,B,C என்பது ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளம் ஆகும்
ஆக எப்பேர்பட்ட வடிவத்தில் இருக்கின்ற நிலங்களையும் இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தி அதன் பரப்பை தூக்கிடலாம் பெத்தளே!!
46)நாம் இன்னொரு முக்கோணத்தை பார்க்க வேண்டும் பெத்தவளே! இரண்டு முக்கோணங்கள் எடுத்து கொள்வோம்.ஒன்று பெரிது இன்னொன்று சிறிது ஆனால் இரண்டு முக்கோணங்களிலும் உள்ள மூன்று கோணங்களும் சம்மானவை.இந்த வகை முக்கோணம் வடிவொத்த முக்கோணம் என்று சொல்லுவாரகள்.இந்த உண்மையை பயனபடுத்தி தான் நிலத்தில் பிரிக்கபடும் வடிவத்தை வரைபடத்தில் விகிதாசாரபடி சிறிய வடிவில் வரைய முடிகிறது.அளப்பதற்கு தடையாய் குறுக்கே ஏதாவது இருந்தால் அந்த இடங்களில் எல்லாம் இந்த உண்மைகளை பயன்படுத்தி அளக்கபடுகிறது
அடுத்ததாக நாற்கரம் மற்றும் பல்கோண வடிவங்கள் பற்றிய உண்மைகளுக்கு போவோம்
47)ஒரு நாற்கரத்திற்கு 4 பக்கங்களும் 4 கோணங்களும் கண்டிப்பாக இருக்கும்.
48)4 பக்கங்களும் 4 கோணங்களும் சமமாக இருந்தால் அதற்கு சதுரம் என்போம்.(Square)
49)ஒரு நாற்கரத்திற்கு 4 கோணங்கள் சமமாக இருந்தால் அதற்கு நீள சதுரம் (அ) செவ்வகம் என்று பெயர்.
50)எந்த ஒரு நாற்கரத்தையும் எதிரெதிர் கோணங்களை ஒரு நேர்க்கோட்டினில் இணைத்தால் 2 முக்கோணங்களாக உருவாக்க முடியும்.
51)நில சர்வேயில் எல்லா நிலத்தின் உருவங்களும் இப்படி நாற்கரங்களாகத்தான் பெரும்பாலும் அமைந்திருக்கும் அவற்றை நாம் முக்கோணங்களாகப் பிரித்துதான் பரப்பளவை கணக்கிட முடியும்.
52)5 பக்கங்களாக உருவங்கள் இருந்தாலும் (அ) அதற்கு மேற்பட்ட உருவங்களாக பக்கங்கள் இருந்தாலும் அவற்றையெல்லாம் நம்மால் எளிய முக்கோணங்களாக பிரிக்க முடியும்.
53)பலகோண மற்றும் பலபக்கங்களாக வடிவங்கள் இருந்து அதனுடைய வெளிச்சுற்றுகள் ஏதாவது ஒரு பக்கத்தில் வளைவுகளாக இருந்தால் அவற்றையும் முக்கோணமாக்கி மீதம் இருக்கின்ற வளைவுக்கோடுகளை வட்டத்தின் சூத்திரப்படி அளவுகளை கண்டுபிடிக்கலாம்.
ஆக பெத்தவளே கோடுகள், கோணங்கள், வட்டங்கள், நாற்கரங்கள், முக்கோணங்கள் ஆகியவற்றின் நீளங்கள், அகலங்கள், பரப்பளவுகள் அதன் கோணங்கள் கண்டுபிடிக்க நிலங்கள் அளக்கும்போது நமக்கு தேவையான கணக்குப் பிரச்சனைகள் தீர்க்க மேற்கண்ட 52 குறிப்புகளை கட்டாயம் தெரிந்திருக்க வேண்டும் பெத்தவளே!
என்னடா எட்டாம் வகுப்பிற்கு கூட்டி சென்றுவிட்டேன் என்று  நினைக்கிறாயா?ஆம் நான் மேற்கண்ட  கணக்கெல்லாம் எட்டாம் வகுப்பில் ஒழுங்காகவே படிக்கவில்லை.ரியல்எஸ்டேட் தொழிலுக்கு வந்த பிறகுதான் இந்த கணக்கை எல்லாம் மீண்டும் படித்தேன்.இப்பொழுது கூட மாணவர்களுக்கு கணக்கை சொல்லிகொடுக்கும் போது எங்கு இவை வாழ்க்கைக்கு பயன்படுகிறது என்று சொன்னால் நன்றாக இருக்கும் அப்போழுதுதான் கணக்கை நன்றாக படிப்பார்கள்  என்று நினைக்கிறேன் பெத்தவளே!!
சரி நாம் அடுத்த தலைப்பான நிலத்தை அளக்கும் அளவுமுறைகள் மற்றும பல்வேறு அலகுகளை பார்ப்போம்.
இப்படிக்கு
சா.மு.பரஞ்சோதி பாண்டியன்
எழுத்தாளர்/ரியல்எஸ்டேட் ஆலோசகர்
9962265834
www.paranjothipandian.in
குறிப்பு:அன்பு வாசகரகளே!!நான் எழுதியுள்ள நிலம் உங்கள் எதிரகாலம் புத்தகத்தை வாங்கி என்னையும் என் டீமையும் ஊக்கபடுத்துமாறு வேண்டுகிறேன்.அதன்மூலம் இன்னும் பலரின் சொத்துகளை காப்பாற்றியும் வளரத்தும் கொடுக்க என்னாலும் என் குழுவினாலும் தொடர்ந்துசெயல்பட முடியும்-
புத்தகம வேண்டுவோர்:8344489222
#கணக்கீடுகள் #சர்வே #survey #நேர்க்கோடு #straight line #படுக்கைக்கோடு #vertical line#செங்குத்துக்கோடு # Perpendicular #சாய்ப்புக்கோடு #குறுங்கோணம் # Acute angle #விரிகோணம் #நேர்க்கோணம் #வட்டம் #circle  #வட்டச்சுற்று #ஆரம் # Radius #மையப்புள்ளி # Epicenter #விட்டம் ## diameter  #கால்வட்டம் #quadrant #டிரிக்னாமிட்ரி #trigonometry முக்கோணவியல் #பரப்பளவு #length #நீளம் #width #அகலம் #அசமபக்க முக்கோணம் #asymmetric triangle #இருசமபக்க முக்கோணம் #சமபக்க முக்கோணம் #Scalene Triangle #Isosceles Triangle #Equilateral Triangle #கர்ணம் #சூத்திரம் #டீட்டாQ #sin (Q) #cos(Q)  #tan(Q) #Cosec(Q) #அடித்தளம் #வடிவொத்த முக்கோணம் #நாற்கரம் #செவ்வகம்